Системы счисления

Тема «Системы счисления. Кодирование чисел.» рассматривается после того, как введены ключевые понятия: язык (естественный и формальный), алфавит, символ, код, кодирование, декодирование, двоичный код. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы.

Существуют разные способы записи чисел (римские и арабские цифры, запись времени), римские цифры используются для обозначения столетий в учебниках истории, с помощью 10 арабских цифр можно обозначить любое количество предметов, т.е. записать любое число и т.п.

Значение, которое несет каждая цифра числа в привычном способе записи чисел, зависит не только от того, какая это цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе.

Десятичная система счисления является позиционной. Алфавит этой системы счисления: 0, 1, 2, 3. 4. 5, 6, 7, 8, 9. Количество символов в алфавите системы счисления называется её основанием. Рассмотрим состав чисел, выполним следующие задания:

1) Разложите по разрядам 5004, 10506, 3800

2) Найди общее и отличия в группах:
А) 800, 80, 8 Б) 800, 080, 008 В) 8/1, 8/10, 8/100

Рассмотрим обобщенную формулу записи числа:

Запись произвольного числа N в некоторой позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена:

N = a_nСⁿ+ a_n_-1С^n-1+ ... + a₂С²+ a₁С¹ + a₀С⁰,

где С – основание системы счисления.

Система счисления — это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Следует показать ученикам алфавиты различных позиционных систем счисления. Далее нужно научить учеников записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах.

Одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Например, нельзя называть восьмеричное число 23₈ как двадцать три. Надо говорить: «Два – три».

Примеры развернутых записей чисел в различных системах счисления:

1) 235,432₁₀ = 2*10² + 3*10¹+ 5*10⁰+ 4*10^-1+3*10^-2 +2*10^-3

2) 235,432₆ = 2*6² + 3*6¹+ 5*6⁰+ 4*6^-1+3*6^-2 +2*6^-3

3) 235,432₈ = 2*8² + 3*8¹+ 5*8⁰+ 4*8^-1+3*8^-2 +2*8^-3

Развернутая форма служит для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.

Примеры перевода чисел из пятеричной и восьмеричной систем счисления в десятичную систему счисления:

1) 423,312₅ = 4*5² + 2*5¹+ 3*5⁰+ 3*5^-1+1*5^-2 +2*5^-3 = 113,016512₁₀

2) 423,312₈ = 4*8² + 2*8¹+ 3*8⁰+ 3*8^-1+1*8^-2 +2*8^-3 = 275,004074₁₀

Задания:

1. Запишите в развернутом виде числа:

14351₁₀; 14351₈; 14351₆; 14351₁₆; 14351₃

2. Запишите в десятичной системе числа:

881₉ 423,2₈ 120₃ 100,3₄

Для вычисления значения числа по его развернутой форме существует удобный прием, который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том, что развернутая запись числа преобразуется в эквивалентную форму с вложенными скобками.

Если число в b-ричной системе счисления равно

то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму:

или, в более наглядном виде:

либо, наконец, в виде схемы Горнера:

Например:

1753₈ = (1×8³ + 7×8² + 5×8¹ + 3)₁₀ =((1×8 + 7) ×8 + 5) × 8 + 3.

Схема Горнера сводит вычисление таких выражений к минимальному числу операций.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления — задача более сложная.

Алгоритм: чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему счисления основанием С, нужно разделить ее на С, а остаток даст младший разряд числа. Полученное частное необходимо разделить на С и т.д. Чтобы перевести дробную часть, ее необходимо умножить на С. Целая часть полученного произведения будет первой после запятой, затем полученную дробную часть необходимо снова умножить на С и т.д., в зависимости от того, сколько цифр после запятой вам нужно.

Задания:

1) Перевести из 10 системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

a. 155

b. 3205

c. 119

d. 97

e. 170

f. 111

g. 273

h. 4096

2) Какое число предшествует числу 10₂ в двоичной системе счисления?

3) Какое из чисел в двоичном представлении содержит равное количество нулей и единиц (двоичное представление числа начинается с цифры «1»)?